Tire suas duvidas.

1ª) São-paulinos só precisam de um empate para CHEGAR ou CHEGAREM à final?

O uso do infinitivo sempre nos dá dor de cabeça.
Temos aqui um caso polêmico. Há quem considere um caso de concordância facultativa, ou seja, as duas formas estariam corretas. Por outro lado, há quem só considere correta a concordância no singular.
É importante observarmos que no exemplo temos duas orações: “São-paulinos só precisam de um empate” (oração principal) + “para chegar à final” (oração subordinada adverbial final, reduzida de infinitivo). A concordância do infinitivo no plural se justificaria porque seu sujeito oculto (eles = os são-paulinos) está no plural: “São-paulinos só precisam de um empate para (eles) CHEGAREM à final”. A concordância do infinitivo no plural seria aceitável, mas não obrigatória.
A maioria dos estudiosos, porém, prefere seguir a regra clássica que determina o uso do infinitivo não-flexionado quando o sujeito do infinitivo for o mesmo da oração principal: “São-paulinos só precisam de um empate para CHEGAR à final”.
Sugiro o uso do infinitivo no singular, porque é uma concordância indiscutivelmente correta e aceita por todos.

2ª) É maior o número de pessoas que TENTA ou TENTAM diagnosticar a doença?

Maior é o número, mas quem tenta diagnosticar a doença são as pessoas. Em razão disso, a concordância correta é: “É maior o número de pessoas que TENTAM diagnosticar a doença”.

3ª) Grande parte das vítimas É CRIANÇA ou SÃO CRIANÇAS?

Trata-se de uma concordância facultativa. Pela concordância lógica, o verbo concorda com o núcleo do sujeito (= parte) no sigular: “Grande parte das vítimas é criança”. Hoje em dia, é incontestável a preferência pela concordância atrativa, isto é, o verbo concorda no plural com o especificador (= vítimas): “Grande parte das vítimas são crianças”.

4ª) A professora tinha uns TRINTA ou TRINTAS anos?

O correto é: “A professora tinha uns TRINTA anos”. Os numerais não fazem flexão de número.
Os numerais só apresentam plural quando são substantivos (= nomes dos numerais): “No meu CPF, há três OITOS”.
Para ficar claro, observe a comparação:1ª) “A criança comeu QUATRO balas” (numeral sem flexão);2ª) “Na prova de ontem, houve dois QUATROS” (nome do numeral faz plural).

5ª) Ela está MEIO ou MEIA tristinha?

O correto é: “Ela está MEIO tristinha”.
MEIO, quando significa “um pouco, mais ou menos”, é advérbio. Em razão disso, é uma forma invariável (sem feminino nem plural). Os advérbios não se flexionam: “Ela está MUITO tristinha”; “Ela está POUCO tristinha”; “Ela está MEIO tristinha”.